Если открытка из мелованной бумаги/картона, то растекутся чернила (хотя, мой отрицательный опыт в этом деле имеет возраст лет 8. Может, на данный момент что-то в этом плане и поменялось). Раньше вполне справлялся лазерником, в котором бумага проходит с малым углом изгиба (открытки обычно из плотного картона, поэтому принтер тупо может не пропихнуть ее, если в ходе печати лист сильно изгибается). Единственное: открытки желательны без всяких блесток, которые могут остаться на барабане принтера.
Вам уже подсказали, что можно напечатать на самоклейке и поклеить, можно еще на кальке и красиво прихватить ее внутри открытки тесьмой. Полупрозрачность этого материала придает стильности изделию.